Die 268 Lösungen des Archimedischen Stomachion nachzurechnen ist eine Sache, weitere Formen zu untersuchen eine andere. Man findet leicht eine Reihe von symmetrischen Formen, die sich auch mit den Stomachion Figuren überdecken lassen. Auch hier werden die vereinfachten Figuren verwendet, die auch allesamt im Gitter liegen sollen. Wenn man die Voraussetzung der Gitterkonformität verläßt, entstehen weitere und sehr interessante Fragen, die später in einem größeren Zusammenhang betrachtet werden.

Nach einigen Versuchen entstand die Frage, wieviel konvexe Formen sich durch die Stomachion Figuren bilden lassen. Es sind erstaunlich viele und kostete einige Überlegung, alle systematisch zu finden. Den naheliegende Ansatz, zunächst alle gitterkonformen konvexen Figuren mit der Fläche 144 zu finden, um dann mögliche Lösungen mit den Stomachion Figuren zu finden, habe ich bald aufgegeben. Es sind einfach zu viele. Durch Einfügen sinnvoller Nebenbedingen konnten Formen ausgeschlossen werden, die gar keine Lösung haben können. Selbst dann war die Anzahl der durchgerechneten Formen noch einige Zehntausend.

Einige Formen haben sehr viele Lösungen, es gibt aber auch etliche mit nur genau einer Lösung. Die obigen Formen haben z.B. 197, 185, 48, 268 und 172 Lösungen.

Die Anzahl und der Reichtum der konvexen Formen dieser Art ist schon erstaunlich, zumal sich mit Figuren von Quadraten oder gleichseitigen Dreiecken nur sehr wenige konvexe Formen bilden lassen. Bei den Vierecken ist der Anteil der lösbaren an den möglichen Formen recht hoch, während das Verhältnis mit der Anzahl der Ecken deutlich kleiner wird.

Im folgenden sind sämtliche lösbaren konvexen Formen aufgeführt, wobei diese in Gruppen mit Dreiecken, Vierecken, usw aufgeteilt sind. Dabei sind nur diejenigen gezählt, die sich bei Symmetrie nicht durch Drehung oder Spiegelung aus den anderen herstellen lassen.

Die Figur mit den meisten Ecken ist dieses Zehneck, welches außerdem das einzige mögliche ist. Das Zehneck gefällt mir auch wegen seiner eleganten Form sehr gut, hat sechs Lösungen und ist außerdem symmetrisch vom Typ S.

In den folgenden Seiten wird für jede der 637 lösbaren Formen eine ausgewählte Lösung gezeigt. Die Anzahl aller Lösungen der jeweiligen Form mit weiteren Daten gibts in der angehängten Tabelle. Zusätzlich ist noch eine unvollständige Auswahl von Formen angefügt, welche keine Lösungen haben.

Erklärung zu den Tabellen der Lösungsseiten:

Nr	Laufende Nummer
Form	Die Codierung der Formen besteht in der Aufzählung der enthaltenen Segmente. Jedes Segment gibt die an Anzahl der Schritte zum nächsten Gitterpunkt in einer der Richtungen der Rose von A bis P an. Die Segmente sind durch das Zeichen »+« verbunden. Beispiel: 12A+12D+24K heißt 12 Schritte Richtung A, dann 12 nach D und schließlich 24 Schritte in Richtung K. Das Ganze ergibt das Dreieck 3-1.
AP / IP	Pick Theorem F = IP + AP / 2 - 1 ( = 144 ) IP bezeichnet die Anzahl der inneren und AP die der äußeren Gitterpunkte, d.h. die auf dem Rand der Form liegen. Die Werte IP und AP sind mit der Fläche F der Form verbunden, wie das wunderschöne Pick Theorem aussagt.
Sym	Typ Faktor Beschreibung Q 8 Symmetrie des Quadrats gibt es nur beim klassischen Stomachion R 4 Doppelte Symmetrie des Rechtecks, auch diagonal S 2 Nur Rotation um 180° M 2 Spiegelsymmetrie, horizontal, vertikal oder diagonal W 2 Nur Rotationssymmetrie Die Form 1 hat den Symmetrietyp »S«, obwohl die Geometrie zwei Spiegelachsen hat. Doch die eine Spiegelung ist nicht konform zum Gitter. Die Form 2 hat keine Symmetrie, 3 ist vom Typ »R« mit zwei diagonalen Achsen, 4 ist natürlich spiegelsymmetrisch und 5 vom Typ »S«.
L	L ist die Anzahl der Lösungen unter Berücksichtigung der Symmetrie.
S	S ist Anzahl der Backtracking Schritte im Suchbaum, welche vom Logelium vollständig durchlaufen wurden, um alle Lösungen zu finden.

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