Drachenringe sind für viele Puzzel, die auf Doms und auch auf anderen
Dreiecken aufbauen, von enormer Bedeutung. Dies wird hier am Beispiel der
DiDoms illustriert. Jedes Puzzel, welches Figuren mit Drachen hat (z.B. DiDom), muß
mindestens einen Drachenring in jeder Lösung besitzen, wobei die Drachen
dann ausschließlich auf dem Ring zu
finden sind. Der Ring legt sozusagen die überhaupt möglichen Positionen
der Drachen fest und trennt gleichzeitig Bereiche von unterschiedlichen Gitterorientierungen.
Andere Puzzel dieser Art (Stomachion, Drafter, etc.) können Drachenringe
haben, wobei dann immer zwei Figuren, eine innen und eine außen, die
Drachen aus zwei halben bilden. Die gleiche paarweise Anordnung ergibt sich,
wenn es weniger Positionen auf dem Ring als Drachenfiguren gibt. Beim Stomachion ist
ein Ring wegen der geringen Anzahl der Figuren gar nicht möglich.
Damit man mit dem Logelium alle DiDom Lösungen einer Form findet, müssen zunächst für jede äußere
Form alle Drachenringe gefunden werden. Das sieht einfacher aus, als es ist, da es viele verschieden Ringtypen gibt, die
im allgemeinen mehrfach in die Form passen. Die Ringtypen habe ich mit Buchstaben bezeichnet, die jedoch außer zur
Unterscheidung keine weitere Bedeutung haben.
Generell kann man beobachten, dass die Anzahl der Lösungen mit steigender Komplexität der Ringe abnimmt, da immer
mehr einschränkende Bedingungen wirksam werden.
Dies sind “einfache” Varianten von Ringen, die aus zusammenhängenden Quadraten der Fläche fünf
aufgebaut sind. Die Eckpunkte dieser Quadrate sind beiden Gittern gemeinsam. Der Ring kann ganz innen liegen oder Stücke
des Randes mit der Form teilen. Dabei kann es schon vorkommen, dass der Ring das primäre Gitter in mehrere Bereiche
zerteilt.
Mit ein bischen Übung kann man in den Lösungen die Drachenringe erkennen. Das Gitterdiagramm jeweils links ist
dazu eine gute Hilfe.
Gitter und Drachenringe
Lösungsbeispiel
Anzahl Lösungen
Ring Neigung
Ring Code
4643
+ λ
A
101
- λ
B
2375
- λ
C
18
+ λ
D2
1
+ λ
L4
97
+ λ
H4
5
+ λ
W7
61
+ λ
I2
8
- λ
T2
32
- λ
LL1
keine
+ λ
NN2
keine
+ λ
HH2
27
+ λ
LT2
keine
+ λ
UU2
17
+ λ
VV2
17
+ λ
WW6
keine
+ λ
TT1
keine
+ λ
RR2
Diese Anordnung kann schon deshalb keine Lösungen haben, weil selbst nur mit Doms keine Lösung existiert.
keine
- λ
U2
Nur der U-förmige Bereich hat eine Neigung. Die anderen beiden getrennten Bereiche gehören zum Basisgitter.
752
- λ
QQ3
Ist ein Drachenring groß genug, kann man einen weiteren hineinlegen. Dies führt zu Strukturen mit rekursiven
Drachenringen. Da die inneren Ringe unbedingt kleiner werden, ist die Rekursion endlich.
keine
- λ und - 2λ
QQ3 und BY
Dies ist die einzige rekursive Kombination von Drachenringen, die überhaupt zu DiDom Lösungen führen
kann. Um so bedauerlicher ist es, dass es gar keine gibt. Alle drei Gitter haben verschiedene Neigungswinkel.
Das rechte Bild zeigt die möglichen Positionen von Drachen.
Die Lösungen der mehrfachen Drachenringe sind im Falle der DiDoms oft mit den Lösungen der beiden einfachen verbunden.
Dies liegt an lokaler Symmetrie der Ringe. Spiegelsymmetrische Ringe wie z.B. Typ A oder B liegen wieder im Basisgitter,
wenn man diese um die Mittelachse umklappt. Enthält ein Ring keine Drachen, so ist die durch den Ring gebildete Teillösung
in jeder Lösung umklappbar.
Im übrigen kann eine mehrfache Drachenringanordnung keine Lösungen haben, wenn jede der beiden zugehörigen
einfachen Anordnungen keine Lösung hat.
Gitter und Drachenringe
Lösungsbeispiel
Anzahl Lösungen
Ring Neigung
Ring Code
16 * 2
- λ
und
- λ
Zweimal AY
Sehr schöne symmetrische Form mit zwei Drachenringen.
145
+ λ
und
+ λ
AX und BX
Aus offensichlichen Gründen liegen die beiden Drachen immer in einem der beiden Ringe. Dies führt in
solchen Fällen auch immer zu einer lokalen Symmetrie. Der Ring ohne ganze Drachen ist um 180° drehbar und
man erhält eine weitere Lösung. Man könnte denken, er sei auch klappbar. Das ist er auch, doch dann
verschwindet der Ring wieder im Grundgitter und die Lösung hat nur noch einen Ring.
16
+ λ
und
- λ
AX und BY
Diese Konfiguration hat drei verschiedene Gitterneigungen.
2
+ λ
und
- λ
AX und D1Y
Diese Konfiguration hat drei verschiedene Gitterneigungen und ist die einzige gefundene Kombination von zwei verschiedenen
Drachenringen mit Lösungen.
